Question

17．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）求正四棱锥P-ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P-ABF体积的4倍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）利用体积公式，即可求正四棱锥P-ABCD的高．

解答 （Ⅰ）证明：直三棱柱ADE-BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD?平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）
（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1
所以：${V_{P-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$
而：${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}h=\frac{1}{3}×2×2h=4{V_{P-ABF}}=\frac{8}{3}$，
所以h=2…．（12分）

点评 本题考查直线与平面、平面与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．