Question

【题目】如图，三棱柱的侧面是菱形，平面平面，直线与平面所成角为，，，为的中点．

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】分析：第一问首先借助于线段的长度关系，求得，之后借助于面面垂直得到直线与平面所成角的平面角，利用题中条件所给角的大小，得到，从而得到为正三角形进一步得到，借助于面面垂直的有关性质，得到平面，下一步利用线面垂直的性质和判定定理证得结果，第二问就是利用空间向量求解即可.

详解：（1）证明：如图所示，连接，，在矩形中，，为的中点，所以，

又因为平面平面，

所以直线在平面上的射影是直线，

所以直线与平面所成角为，

因为直线与平面所成角为，即，

所以为正三角形，又为的中点，则，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，且，

所以平面，

又因为平面，

所以．

（2）解：设为中点，则，所以，，两两互相垂直，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则即

令，得，

同理可求得平面的一个法向量为，

，

由图知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．