Question

某游乐园拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC为主题活动园区，∠ACB=60°；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．
（Ⅰ）若AC=20m，BC=24m，求AB的长度．
（Ⅱ）如图，AB=24m，AD与AB垂直，且∠ADC=120°，∠ABC=θ（45°≤θ≤60°）．记游客通道长度和为L，写出L关于θ的关系式，并求L的最小值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用,在实际问题中建立三角函数模型

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理，求AB的长度．
（Ⅱ）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知由余弦定理，得AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos60°=242+202-2×24×20×

1

2

=496，
∴AB=4

31

…（4分）
（Ⅱ）在△ACB中，

AB

sin∠ACB

=

AC

sin∠ABC

，
∴AC=

24sinθ

sin600

=16

3

sinθ…（5分）
由已知得∠CAB=120°-θ，∠CAD=θ-30°
又∠ADC=120°，∠ACD=90°-θ…（6分）
在△ADC中，

AC

sin∠ADC

=

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠CAD

AD=

ACsin(900-θ)

sin1200

=

16 3 sinθ•cosθ

3 2

=16sin2θCD=

ACsin(θ-300)

sin1200

=

16 3 sinθ•( 3 2 sinθ- 1 2 cosθ)

3 2

=16

3

sin2θ-16sinθcosθ=8

3

-8

3

cos2θ-8sin2θ…（9分）
则L=AD+CD=16sin2θ+8

3

-8

3

cos2θ-8sin2θ=8

3

+8sin2θ-8

3

cos2θ=8

3

+16sin(2θ-60°)
因45°≤θ≤60°，当θ=45°时，L取到最小值 (8

3

+8)m      …（12分）

点评：本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．