Question

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)=

[x]

x

-a(x＞0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、(

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]
• D、[

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，方程

[x]

x

= a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．

解答： 解：因为f（x）=

[x]

x

-a (x＞0)，有且仅有3个零点，则方程

[x]

x

= a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，则

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，∴

[x]

[x]+1

＜a≤1，
且

[x]

[x]+1

随着[x]的增大而增大．
故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，则有

1

2

＜

[x]

x

≤1；若[x]=2，则有

2

3

＜

[x]

x

≤1；若[x]=3，则有

3

4

＜

[x]

x

≤1；若[x]=4，则有

4

5

＜

[x]

x

≤1．
综上所述，

3

4

＜a≤

4

5

，
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．