Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2$\sqrt{3}$，θ），其中θ∈（$\frac{π}{2}$，π）
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的极坐标方程，利用点A的极坐标为（2$\sqrt{3}$，θ），θ∈（$\frac{π}{2}$，π），即可求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求出A，B的坐标，即可求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为x²+（y-2）²=4，极坐标方程为ρ=4sinθ，
∵点A的极坐标为（2$\sqrt{3}$，θ），θ∈（$\frac{π}{2}$，π），∴θ=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，
点A的直角坐标为（-$\sqrt{3}$，3），射线OA的方程为y=-$\sqrt{3}$x，
代入x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，可得B（-2$\sqrt{3}$，6），∴|AB|=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．