Question

4．某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；
（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图求出日销售量不低于8吨的频率为0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A₁（i=1，2，3），未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件${A_1}{A_2}\overline{A_3}$和$\overline{A_1}{A_2}{A_3}$，由此能求出未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
日销售量不低于8吨的频率为：2×（0.125+0.075）=0.4，…（1分）
记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A₁（i=1，2，3），
则P（A₁）=0.4，…（2分）
未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，
另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件${A_1}{A_2}\overline{A_3}$和$\overline{A_1}{A_2}{A_3}$，…（3分）
则未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率：
$P（{{A_1}{A_2}\overline{A_3}∪\overline{A_1}{A_2}{A_3}}）=P（{{A_1}{A_2}\overline{A_3}}）+P（{\overline{A_1}{A_2}{A_3}}）$…（4分）
=0.4×0.4×（1-0.4）+（1-0.4）×0.4×0.4=0.192．…（6分）
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4）
P（X=0）=（1-0.4）³=0.216，…（7分）
$P（{X=1}）={C_3}^10.4×{（{1-0.4}）^2}=0.432$，…（8分）
$P（{X=2}）={C_3}^2{0.4^2}×（{1-0.4}）=0.288$，…（9分）
P（X=3）=0.4³=0.064，…（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

…（11分）
E（X）=3×0.4=1.2．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．