Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=$\frac{π}{3}$，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足$\frac{MD}{AD}$=$\frac{NC}{DC}$=λ，其中λ∈[0，1]，则$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BM}$的取值范围是（　　）

• A． [-3，1]
• B． [-3，-1]
• C． [-1，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}$的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围．

解答 解：建立如图所示的以A为原点，
AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，
则B（2，0），A（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵满足$\frac{MD}{AD}$=$\frac{NC}{DC}$=λ，λ∈[0，1]，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DN}$=$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AB}$
=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（1-λ）（2，0）
=（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AM}$=-$\overline{\;}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$
=（-2，0）+（1-λ）（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ）），
则$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ））
=（$\frac{5}{2}$-2λ）（-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$λ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-λ）
=λ²+λ-3=（λ+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{13}{4}$，
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=-$\frac{1}{2}$，
则[0，1]为增区间，
故当λ∈[0，1]时，λ²+λ-3∈[-3，-1]．
故选：B．

点评 本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．