Question

1．一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（　　）

• A． 81π
• B． 16π
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． $\frac{16π}{9}$

Answer 1

分析 根据类似推理可以得到一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的体积．

解答 解：由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，
可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，
设三棱锥的四个面积分别为：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于内切球到各面的距离等于内切球的半径
∴V=$\frac{1}{3}$（S₁×r+S₂×r+S₃×r+S₄×r）=$\frac{1}{3}$S×r
∴内切球半径r=$\frac{3V}{S}$=$\frac{2×3}{3}$=2，
∴该三棱锥内切球的体积为$\frac{4}{3}$π•2³=$\frac{32π}{3}$．
故选：C

点评 本题考查类比推理的问题，以及三棱锥内切球的体积，考查学生的计算能力，求出内切球半径是关键．