Question

7．已知圆C₁：x²+y²=9与圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=r²（r＞0）相外切．
（1）若圆C₂关于直线l：$\frac{ax}{9}-\frac{by}{12}$=1对称，求由点（a，b）向圆C₂所作的切线长的最小值；
（2）若直线l₁过点A（1，0）且与圆C₂相交于P，Q两点，求△C₂PQ面积的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）由于两圆相外切，可得|C₁C₂|=3+r=5，解得r．由圆C₂关于直线l：$\frac{ax}{9}-\frac{by}{12}$=1对称，可得$\frac{3a}{9}$-$\frac{4b}{12}$=1，化为：a=b+3．由点（a，b）向圆C₂所作的切线长=$\sqrt{（a-3）^{2}+（b-4）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{2（b-2）^{2}+4}$．利用二次函数的单调性即可得出切线长取得最小值．
（2）由题意可知：直线l₁的斜率存在且不为0，可设方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．圆心C₂到直线l₁的距离d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，可得${S}_{△{C}_{2}PQ}$=$\frac{1}{2}$d|PQ|=d$\sqrt{4-{d}^{2}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）圆C₁的圆心C₁（0，0），半径为3．圆C₂的圆心C₂（3，4），半径r．|C₁C₂|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵两圆相外切，∴|C₁C₂|=3+r=5，解得r=2．
∵圆C₂关于直线l：$\frac{ax}{9}-\frac{by}{12}$=1对称，∴$\frac{3a}{9}$-$\frac{4b}{12}$=1，化为：a=b+3．
由点（a，b）向圆C₂所作的切线长=$\sqrt{（a-3）^{2}+（b-4）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{2{b}^{2}-8b+12}$=$\sqrt{2（b-2）^{2}+4}$．
∴当b=2时，切线长取得最小值2．
（2）由题意可知：直线l₁的斜率存在且不为0，可设方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．
圆心C₂（3，4）到直线l₁的距离d=$\frac{|3k-4-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，
∴${S}_{△{C}_{2}PQ}$=$\frac{1}{2}$d|PQ|=d$\sqrt{4-{d}^{2}}$≤$\frac{{d}^{2}+（4-{d}^{2}）}{2}$=2，当且仅当d=$\sqrt{2}$时取等号，${S}_{△{C}_{2}PQ}$取得最大值2．
∴$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，化为：k²-8k+7=0，解得k=1，7．
∴直线l₁的方程为：x-y-1=0，或7x-y-7=0．

点评 本题考查了两圆外切的性质、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．