Question

16．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y-1≤0\end{array}\right.$，则z=x²+y²的取值范围为$[{\frac{9}{10}，9}]$．

Answer 1

分析 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．

解答 解：画出$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y-1≤0\end{array}\right.$的可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），
若目标函数z=x²+y²的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方．由图形可知仅在点（3，0）取得最大值，z=9．
由图知，原点到直线x+3y-3=0的距离最小，d=$\frac{|-3|}{\sqrt{1+9}}$，
可得z=x²+y²=d²=$\frac{9}{10}$．
则z=x²+y²的取值范围为：[$\frac{9}{10}$，9]．
故答案为：[$\frac{9}{10}$，9]．

点评 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．判断几何意义，最后比较，即可得到目标函数的最优解．