(本小题14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0, p)(p>0), 直线l : y= -p, 点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线、,使, .
(1) 求动点的轨迹的方程;
(2)在直线上任取一点做曲线的两条切线,设切点为、,求证:直线恒过一定点.
解:(1) .(2)见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)先判断RQ是线段FP的垂直平分线,从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线;
(Ⅱ)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2),求出切线方程,从而可得x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根,进一步可得直线AB的方程,即可得到直线恒过定点(0,p);
解:(1)依题意知,点是线段的中点,且⊥,
∴是线段的垂直平分线. ∴.
故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,
其方程为:.
(2)设,两切点为,
∴两条切线方程为xx=2p(y+y) ①
xx=2p(y+y) ②
对于方程①,代入点, 又, 整理得:, 同理对方程②有, 即为方程的两根.
∴ ③
设直线的斜率为,
所以直线的方程为,展开得:,代入③得:, ∴直线恒过定点.
考点:本题主要考查了抛物线的定义,考查直线恒过定点,考查直线的向量,,属于中档题.
点评:解决该试题的关键是正确运用圆锥曲线的定义和韦达定理,来表示根与系数的关系的运用。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分16分)已知直线:
(1)求证:不论实数取何值,直线总经过一定点.
(2)为使直线不经过第二象限,求实数的取值范围.
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求的方程.
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(本小题满分10分)
如图,已知三角形的顶点为A(2, 4),B(0,-2),C(-2,3),
求:
(Ⅰ)AB边上的中线CM所在直线的一般方程;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
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(本题满分12分)在中,已知BC边上的高所在直线的方程为, 平分线所在直线的方程为,若点B的坐标为(1,2),
(Ⅰ)求直线BC的方程;
(Ⅱ)求点C的坐标。
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(本小题满分12分)已知直线的方程为, 求直线的方程, 使得:
(1) 与平行, 且过点(-1,3) ;
(2) 与垂直, 且与两轴围成的三角形面积为4.
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