Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．
（1）若右顶点到直线l的距离等于

2

2

，求椭圆方程．
（2）设△AF₁F₂的重心为M，△BF₁F₂的重心为N，若原点O在以MN为直径的圆内，求a²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于

2

2

列式求出a的值，结合已知和b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（2）因为A，B在直线l：x-y-1=0上，所以设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由重心坐标公式求出M和N的坐标，利用原点O在以MN为直径的圆内得到

OM

•

ON

＜0，代入根与系数的关系后可求得a²的取值范围．

解答：解：（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于

2

2

，得

|a-0-1|

2

=

2

2

，解得a=2，由c=1，所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），
由

y=x-1 (a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)

，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0
x1+x2=

2a2

2a2-1

，x1x2=

2a2-a4

2a2-1

∵直线AB：x-y-1=0过焦点F₂（1，0），
∴△AF₁F₂的重心M（

x1

3

，

x1-1

3

），
△BF₁F₂的重心N（

x2

3

，

x2-1

3

），
因为原点O在以MN为直径的圆内，
所以

OM

•

ON

=

x1x2

9

+

(x1-1)(x2-1)

9

=

2x1x2-(x1+x2)+1

9

=

2× 2a2-a4 2a2-1 - 2a2 2a2-1 +1

9

＜0，
解得，a2＞1+

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把原点O在以MN为直径的圆内转化为

OM

•

ON

＜0，进一步运用根与系数的关系求解，是有一定难度题目．