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已知圆C:过点A(3,1),且过点P(4,4)的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F.
(1)求切线PF的方程;
(2)若抛物线E的焦点为F,顶点在原点,求抛物线E的方程.
(3)若Q为抛物线E上的一个动点,求的取值范围.
(1)y=x+2(2)y2=-16x(3)(-∞,30]
(1)根据点A在圆上,可求出m,然后设出PF的方程,根据直线与圆C相切,圆心到直线的距离等于半径建立关于k的方程,求出k值,问题解决.
(2)由抛物线的焦点坐标,直接可确定抛物线的标准方程为.
(3)设出Q(x,y),然后可得, 再利用,
可得, 然后利用函数的方法求出的取值范围.
解:(1)点A代入圆C方程,得.∵m<3,∴m=1.圆C:.设直线PF的斜率为k,则PF:
.∵直线PF与圆C相切,∴.解得. 当k=时,直线PF与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.
当k=时,直线PF与x轴的交点横坐标为-4,∴符合题意,∴直线PF的方程为y=x+2…………………6分
(2)设抛物线标准方程为y2="-2px,"
∵F(-4,0), ∴p="8,"
∴抛物线标准方程为y2=-16x…………………8分
(3),设Q(x,y),
∵y2="-16x," ∴
的取值范围是(-∞,30].…………………13分
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.
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