Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是f'（x）=0的两个根
∴
即
所以；
（2）
令
∴
当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：

由上表可知：g（x）极大值=g（3）=t；g（x）极小值=g（1）=
∵
∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）>0
因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，必有：g（x）_极大值=g（3）=t=0，
或
∴或
所以存在t且t=0或符合题目要求。