Question

已知正四棱柱中，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）（3）存在，

试题分析：（1）可证平面，从而可得。（2）（空间向量法）以为原点建立空间直角坐标系，如图。根据边长可得各点的坐标，从而可得各向量的坐标，根据向量垂直数量积为0可求平面的法向量，由（1）知平面，所以即为平面的法向量，先求两法向量所成角的余弦值，但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，观察可知此二面角为钝角，所以此二面角的余弦值应为负数。（3）设为线段上一点,且，根据向量共线，可用表示出点坐标。分别求两个面的法向量，两面垂直，则两法向量也垂直，即数量积为0，从而可得的值，若所得在内说明存在点满足条件，否则说明不存在。
证明：（1）因为为正四棱柱，
所以平面，且为正方形.                   1分
因为平面，
所以.                                   2分
因为,
所以平面.                                      3分
因为平面,
所以.                                           4分
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.则

               5分
所以.                       
设平面的法向量.
所以 .即  6分
令，则.
所以.
由（1）可知平面的法向量为.                  7分
所以.                           8分
因为二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.                     9分
（3）设为线段上一点,且.
因为.
所以.                 10分
即.
所以.                                    11分
设平面的法向量.
因为，
所以 .即.                     12分
令，则.
所以.                                     13分
若平面平面，则.
即，解得.
所以当时，平面平面.                14分