Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{|{{2^x}-1}|}}{{{2^x}+1}}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）写出函数的单调区间，并证明函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）计算f（-x）和f（x）的关系，判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，
且$f（{-x}）=\frac{{|{{2^{-x}}-1}|}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{|{1-{2^x}}|}}{{1+{2^x}}}=f（x）$，
所以函数f（x）为偶函数．
（2）函数f（x）的减区间是（-∞，0），增区间是（0，+∞），
x∈（-∞，0）时，f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-1，
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₂）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$+1=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）为减函数．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．