Question

18．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$为奇函数．
（1）若函数f（x）在区间$[{\frac{m}{2}，m}]（{m＞0}）$上为单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和奇函数的性质得f（-1）=-f（1），代入解析式列出方程求出a，可求出f（x）并判断出f（x）的单调性，由条件和单调性列出关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）根据函数的单调性和条件，分两种情况列出不等式组，求出k的值．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$为奇函数，
∴f（-1）=-f（1），则-（1-a+4）=-（1+a+4），解得a=0，
即$f（x）=\frac{{x}^{2}+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}$，
∴f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
∵函数f（x）在区间$[{\frac{m}{2}，m}]（{m＞0}）$上为单调函数，
∴m≤2或$\frac{m}{2}≥2$，则0＜m≤2或m≥4，
∴m的取值范围是（0，2]∪[4，+∞）；
（2）由（1）知，
f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
∵f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜k≤2}\\{f（k）=k+\frac{4}{k}=3k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥2}\\{f（2）=2+\frac{4}{2}=3k}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{2}$或k=$\frac{4}{3}$（舍去），
即k的值是$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，以及对号函数的单调性的应用，考查方程思想，分类讨论思想，属于中档题．