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(本题满分12分)
在直角坐标系中,动点到两圆的圆心的距离的和等于.
(Ⅰ) 求动点的轨迹方程;
(Ⅱ) 以动点的轨迹与轴正半轴的交点C为直角顶点作此轨迹的内接等腰直角三角形ABC,试问:这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)两圆的圆心坐标分别为,根据椭圆的定义可知,动点的轨迹为以为焦点,长轴长等于的椭圆.
,所以,动点的轨迹方程
(Ⅱ)由(Ⅰ)得C点的坐标为
不妨设A、B两点分居于y轴的左、右两侧,设CA的斜率为,
>0,CA所在直线的方程为.
代入椭圆方程并整理得.
.∴A点的坐标为.
.   同理,.
由|CA|=|CB|得,
解得
∴符合题意的等腰直角三角形一定存在,且有3个.

解析

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