Question

5．设f（x）=a•e^x+blnx+c，且$f'（1）=e，f'（-1）=\frac{1}{e}$．
（1）求实数a，b的值．
（2）将（1）得到的a，b值代入f（x），得到函数g（x），若点A（0，d）在g（x）图象上，且g（x）在A点处的切线过点B（1，4），求c，d的值．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=a{e^x}+\frac{b}{x}$，由$f'（1）=e，f'（-1）=\frac{1}{e}$，列出方程组，能求出结果．
（ 2）由题意g（x）=e^x+c，g′（x）=e^x，由此利用导数的几何意义能出结果．

解答 解：（1）∵f（x）=a•e^x+blnx+c，
∴$f'（x）=a{e^x}+\frac{b}{x}$，
∵$f'（1）=e，f'（-1）=\frac{1}{e}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=ae+b=e\\ f'（-1）=\frac{a}{e}-b=\frac{1}{e}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=0．
（ 2）由（1）得f（x）=e^x+c，
∴g（x）=e^x+c，切点坐标A（0，d），
g′（x）=e^x，
∴k=g'（0）=e⁰=1，d=1+c
∵切线方程y=x+d过点（1，4），
∴4=1+1+c，
∴d=3，c=2．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质及其几何意义的合理运用．