Question

7．已知等差数列{a_n}，满足a₂=2，a₄=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_2}={a_1}+d=2\\{a_4}={a_1}+3d=4\end{array}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n，
故a_n=n．
（2）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
故$\frac{1}{{{a_1}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_4}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．