Question

3．△ABC的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合M，现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为（　　）

• A． $\frac{{4-\sqrt{13}+\sqrt{5}}}{4}$
• B． $\frac{{5-\sqrt{13}}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{4}$

Answer 1

分析 根据△ABC的三边长度分别是2，3，x，$\left\{\begin{array}{l}{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，1＜x＜5，区间长度为4，△ABC恰好是钝角三角形$\left\{\begin{array}{l}{4+{x}^{2}-9＜0}\\{4+9-{x}^{2}＜0}\\{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，x的取值范围是（1，$\sqrt{5}$）∪（$\sqrt{13}$，5），区间长度为（4-$\sqrt{13}$+$\sqrt{5}$），即可求出概率．

解答 解：由题意，△ABC的三边长度分别是2，3，x，$\left\{\begin{array}{l}{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，∴1＜x＜5，区间长度为4，
△ABC恰好是钝角三角形$\left\{\begin{array}{l}{4+{x}^{2}-9＜0}\\{4+9-{x}^{2}＜0}\\{2+3＞x}\\{2+x＞3}\end{array}\right.$，
∴x的取值范围是（1，$\sqrt{5}$）∪（$\sqrt{13}$，5），区间长度为（4-$\sqrt{13}$+$\sqrt{5}$），
∴从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为$\frac{4-\sqrt{13}+\sqrt{5}}{4}$．
故选：A．

点评 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题．学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．