Question

8．已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）请写出函数f（x）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）若不等式|x+1|+|x-3|≥a+$\frac{1}{a}$对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的应用进行表示即可．
（2）根据绝对值的应用求出|x+1|+|x-3|的最小值，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x，}&{x＜-1}\\{4}&{-1≤x≤3}\\{2x-2，}&{x＞3}\end{array}\right.$…（2分）
函数f（x）的图象如图所示．

（2）由（1）知f（x）的最小值是4，
所以要使不等式|x+1|+|x-3|≥a+$\frac{1}{a}$恒成立，有4≥a+$\frac{1}{a}$，…（7分）
若a＜0，则不等式恒成立，
若a＞0，则不等式等价为a²-4a+1≤0，
得2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$，
综上实数a的取值范围是a＜0或2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$…（10分）

点评 本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立，利用参数分离法是解决本题的关键．