Question

13．定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）的对称轴为x=1，f（x+1）=$\frac{4}{f（x）}$（f（x）≠0），且在区间（2015，2016）上单调递减．已知α，β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（sinα）=f（cosβ）
• D． 以上情况均有可能

Answer 1

分析 由平移图象可得y=f（x）的对称轴为x=0，由f（x）f（x+1）=4，将x换为x+1，可得f（x）的周期为2，由题意可得f（x）在（-1，0）上递减，在（0，1）上递增，由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜$\frac{π}{2}$，运用诱导公式和正弦函数的单调性，即可判断大小，得到结论．

解答 解：f（x-1）的对称轴为x=1，
可得y=f（x）的对称轴为x=0，
即有f（-x）=f（x），又f（x）f（x+1）=4，
可得f（x+1）f（x+2）=4，即为f（x+2）=f（x），
函数f（x）为最小正周期为2的偶函数．
f（x）在区间（2015，2016）上单调递减，
可得f（x）在（-1，0）上递减，在（0，1）上递增，
由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜$\frac{π}{2}$，
即有0＜α＜$\frac{π}{2}$-β＜$\frac{π}{2}$，
则0＜sinα＜sin（$\frac{π}{2}$-β）＜1，即为0＜sinα＜cosβ＜1，
则f（sinα）＜f（cosβ）．
故选：B．

点评 本题考查函数的对称性和周期性的运用，考查偶函数的单调性的运用，同时考查三角形函数的诱导公式和正弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．