Question

3．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上一点，过P作PM⊥l，垂足为M，记$N（{\frac{7p}{2}，0}），PF$与MN交于点T，若|NF|=2|PF|，且△PNT的面积为$3\sqrt{2}$，则p=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由NF|=2|PF|，${x}_{P}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{2}$得x_P=p，
由$\frac{PM}{NF}=\frac{PT}{TF}=\frac{1}{2}$，得s_△NPT：s_△NFT=1：2，由${s}_{△NPF}=\frac{1}{2}×NF×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，得$\frac{1}{2}×3p×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，${y}_{P}=\frac{6\sqrt{2}}{p}$，点P在抛物线y²=2px（p＞0）上，即$\frac{72}{{p}^{2}}=2p×p$，解得p．

解答 解：如图所示，NF=$\frac{7p}{2}-\frac{p}{2}=3p$
∵|NF|=2|PF|，∴PM=PF=$\frac{3p}{2}$，由${x}_{P}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{2}$得x_P=p
∵PM∥NF，∴$\frac{PM}{NF}=\frac{PT}{TF}=\frac{1}{2}$，∴s_△NPT：s_△NFT=1：2，
∵△PNT的面积为$3\sqrt{2}$，∴△PNF的面积为3×$3\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$
由${s}_{△NPF}=\frac{1}{2}×NF×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，得$\frac{1}{2}×3p×{y}_{P}=9\sqrt{2}$，${y}_{P}=\frac{6\sqrt{2}}{p}$
∵$P（p，\frac{6\sqrt{2}}{p}）$在抛物线y²=2px（p＞0）上，
即$\frac{72}{{p}^{2}}=2p×p$，解得p=$\sqrt{6}$．
故选：D

点评 本题考查了抛物线的方程、性质，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．