Question

15．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=3，AA₁=7，∠BAD=60°，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，求AC₁的长．

Answer 1

分析 由题意，${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²，由此能示出AC₁的长度．

解答 解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=5，AD=3，AA₁=7，∠BAD=60°，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{C{C}_{1}}$）²=25+9+49+2•5•3cos60°+2•5•7cos45°+2•3•7cos45°
=83+15+56$\sqrt{2}$=98+56$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{98+56\sqrt{2}}$．
∴AC₁的长度为$\sqrt{98+56\sqrt{2}}$．

点评 本题考查线段的长度的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．