Question

9．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，各棱长都是2，M是AC中点．
（1）求证：AB₁∥平面MBC₁；
（2）求二面角M-BC₁-C的正弦；
（3）求点A到平面MBC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）连接CB₁，设CB₁∩BC₁=O．连接OM．由四边形BB₁C₁C为矩形，可得CO=OB₁，又CM=MA，利用三角形中位线定理可得MO∥AB₁．利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）作MD⊥BC，垂足为D，则MD⊥平面BC₁，作DE⊥BC₁，垂足为E，连接ME，则ME⊥BC₁，∠MED是二面角M-BC₁-C的平面角，即可得出结论；
（3）利用等体积方法，求点A到平面MBC₁的距离．

解答 证明：（1）如图所示，连接CB₁，设CB₁∩BC₁=O．连接OM．
由四边形BB₁C₁C为矩形，
∴CO=OB₁，
又CM=MA，
∴MO∥AB₁．
∵AB₁?平面MBC₁，MO?平面MBC₁．
∴AB₁∥平面MBC₁．
解：（2）作MD⊥BC，垂足为D，则MD⊥平面BC₁，
作DE⊥BC₁，垂足为E，连接ME，则ME⊥BC₁，
∴∠MED是二面角M-BC₁-C的平面角，
∵MD=ED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MED=45°，
∴二面角M-BC₁-C的正弦为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）点A到平面MBC₁的距离=点C到平面MBC₁的距离．
△MBC₁中，BC₁=2$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{3}$，MC₁=$\sqrt{5}$，
∴MC₁⊥MB，
∴${S}_{△MB{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
设点C到平面MBC₁的距离为h．则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴点A到平面MBC₁的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直三棱柱的性质、线面平行的判定定理及其性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．