Question

3．已知函数f（x）满足f（x+$\frac{1}{2}$）+f（-x+$\frac{1}{2}$）=2，化简：S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）．

Answer 1

分析 由已知等式可得f（x）+f（1-x）=2，且f（$\frac{1}{2}$）=1．然后对n分类讨论求得答案．

解答 解：由f（x+$\frac{1}{2}$）+f（-x+$\frac{1}{2}$）=2，得f（x）+f（1-x）=2，且f（$\frac{1}{2}$）=1．
当n为奇数时，
则S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{2n}$）+f（$\frac{n+1}{2n}$）]=$\frac{n+1}{2}×2=n+1$；
当n为偶数时，
则S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{n}{2}×2+1=n+1$．
∴S_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1）=n+1．

点评 本题考查函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，寻找规律是解答该题的关键，是中档题．