Question

8．已知sinα+sinβ=sin（α+β），cosα+cosβ=cos（α+β）．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若α，β∈[0，2π]，求满足条件的α，β

Answer 1

分析 （1）将已知两式两边平方后相加，利用同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式化简即可得解．
（2）将两式变形相加，可求得cosβ=$\frac{1}{2}$，cos$α=\frac{1}{2}$，结合cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，即可得解满足条件的α，β．

解答 解：（1）∵sinα+sinβ=sin（α+β），cosα+cosβ=cos（α+β）．
∴两边平方可得：（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=sin²（α+β）+cos²（α+β）=1．
∴sin²α+sin²β+cos²α+cos²β+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1．
∴2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=1．
∴2+2cos（α-β）=1，
∴解得：cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵sinα=sin（α+β）-sinβ①，
cosα=cos（α+β）-cosβ②．
∴①②两式子平方后相加，可得：1=1+1-2cos（α+β）cosβ-2sin（α+β）sinβ，
∴0=1-2cosα，可得：cosα=$\frac{1}{2}$，
同理，cosβ=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{3}$，或$\frac{5π}{3}$，
β=$\frac{π}{3}$，或$\frac{5π}{3}$，
又∵cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$．
∴可得α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{5π}{3}$，或α=$\frac{5π}{3}$，β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．