Question

20．已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞0且a≠1）的定义域为（-1，0），值域为（0，+∞）．
（1）求a的取值范围；
（2）求g（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（x＞0）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围即可求出x+1的范围（0，1），而f（x）的值域为（0，+∞），从而根据对数函数的单调性便可得出a∈（0，1）；
（2）分离常数即可得到$g（x）=1-\frac{2}{{a}^{x}+1}$，这样根据a∈（0，1），以及x＞0即可得到0＜a^x＜1，根据不等式的性质即可求出g（x）的值域．

解答 解：（1）∵x∈（-1，0）；
∴x+1∈（0，1）；
又log_a（x+1）∈（0，+∞）；
∴0＜a＜1；
即a的取值范围为（0，1）；
（2）$g（x）=\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}=1-\frac{2}{{a}^{x}+1}$；
∵0＜a＜1，x＞0；
∴0＜a^x＜1；
∴$1＜\frac{2}{{a}^{x}+1}＜2$；
∴$-1＜1-\frac{2}{{a}^{x}+1}＜0$；
∴该函数的值域为（-1，0）．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，对数函数的图象及单调性，指数函数的图象及单调性，分离常数法的运用，以及不等式的性质．