Question

16．边长为10cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V，表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容器的容积最大？并求出最大容积．

Answer 1

分析 （1）利用长方体的体积计算公式可得：V（x）．
（2）利用导数的运算法则可得：V′（x）=4（3x-5）（x-5），利用导数与单调性的关系即可得出．

解答 解：（1）利用长方体的体积计算公式可得：V（x）=（10-2x）²x，x∈（0，5）．
（2）V′（x）=4（3x²-20x+25）=4（3x-5）（x-5），令V′（x）=0，解得x=$\frac{5}{3}$．
∴x∈$（0，\frac{5}{3}）$时，V′（x）＞0，此时函数V（x）单调递增；x∈$（\frac{5}{3}，5）$时，V′（x）＜0，此时函数V（x）单调递减．
∴x=$\frac{5}{3}$时，函数V（x）取得极大值，也是最大值，即V$（\frac{5}{3}）$=$（10-2×\frac{5}{3}）^{2}×\frac{5}{3}$=$\frac{2000}{27}$（cm²）．

点评 本题考查了长方体的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．