Question

8．已知a，b为正实数，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，若a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（　　）

• A． （-∞，3+$\sqrt{2}}$]
• B． （-∞，3+2$\sqrt{2}}$]
• C． （-∞，3+4$\sqrt{2}}$]
• D． （-∞，3+3$\sqrt{2}}$]

Answer 1

分析 利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）_min，要使a+b-c≥0对于满足条件的a，b恒成立，只要值（a+b）_min-c≥0即可．

解答 解：a，b都是正实数，且a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1①，
则a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=（3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）≥（3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$）=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$即b=$\sqrt{2}$a②时，等号成立．
联立①②解得a=$\sqrt{2}$+1，b=2+$\sqrt{2}$，故a+b的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
要使a+b-c≥0恒成立，只要3+2$\sqrt{2}$-c≥0，即c≤3+2$\sqrt{2}$，
故c的取值范围为（-∞，3+2$\sqrt{2}$]．
故选：B．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件：一正、二定、三相等，以及函数的恒成立问题．