Question

3．已知数列{a_n}（n=1，2，3，…，2016），圆C₁：x²+y²-4x-4y=0，圆C₂：x²+y²-2a_nx-2a_2017-ny=0，若圆C₂平分圆C₁的周长，则数列{a_n}的所有项的和为4032．

Answer 1

分析 根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆心C₁的圆心，得到a_n+a_2017-n=4即可求出{a_n}的所有项的和．

解答 解：设圆C₁与圆C₂交于A，B，则直线AB的方程为：
x²+y²-4x-4y-（x²+y²-2a_nx-2a_2017-ny）=0，
化简得：（a_n-2）x+（a_2017-n-2）y=0，
∵圆C₁：x²+y²-4x-4y=0的标准方程为圆（x-2）²+（y-2）²=8，
∴圆心C₁：（2，2）．
又圆C₂平分圆C₁的周长，
则直线AB过C₁：（2，2）．，
代入AB的方程得：2（a_n-2）+2（a_2017-n-2）=0，
即a_n+a_2017-n=4，
∴{a_n}的所有项的和为a₁+a₂+…+a₂₀₁₇=（a₁+a₂₀₁₆）+（a₂+a₂₀₁₅）+…+（a₁₀₀₈+a₁₀₀₉）=1008×4=4032．
故答案为：4032．

点评 本题主要考查数列的前n项和的计算，利用两圆的关系求出公共弦的方程，并求出a_n+a_2017-n=4是解决本题的关键，综合性较强．