Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且满足a（sinA-$\frac{sinB}{2}$）+b（sinB-$\frac{sinA}{2}$）=csinC，则sinC的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理把条件中的边角关系式转化为边的关系式，利用余弦定理可求cosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．

解答 解：在△ABC中，∵a（sinA-$\frac{sinB}{2}$）+b（sinB-$\frac{sinA}{2}$）=csinC，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，可得：a（$\frac{a}{2R}$-$\frac{b}{4R}$）+b（$\frac{b}{2R}$-$\frac{a}{4R}$）=c$\frac{c}{2R}$，即：（2a-b）a+（2b-a）b=2c²，
∴a²+b²-c²=ab，
∵由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．