Question

20．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．
（1）求证：AO⊥平面B'OC；
（2）当三棱锥B'-AOC的体积取最大时，求二面角A-B'C-O的余弦值；
（3）在（2）的条件下，试问在线段B'A上是否存在一点P，使CP与平面B'OA所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$？证明你的结论，并求AP的长．

Answer 1

分析 （1）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后证明AO⊥平面B'OC；
（2）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，当D与O重合时，三棱锥B'-AOC的体积最大，过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A-B'C-O的平面角．在三角形AOH中求解二面角A-B₁C-O的余弦值．
（3）连接OP，说明OC⊥平面B'OA，CP与平面B'OA所成的角为∠CPO，证明CP⊥AB′，然后求解即可．

解答 解：（1）证明：∵AB=AC且O是BC中点，
∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，
又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC；…（3分）
（2）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，
则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA
又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，
即B'D是三棱锥B'-AOC的高，
又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'-AOC的体积最大，
过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，
由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，
又B'C⊆平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，
∴B'C⊥AH∴∠AHO即为二面角A-B'C-O的平面角．
在$R{t_{△AOH}}中，AO=2，OH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$AH=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$cos∠AHO=\frac{OH}{AH}=\frac{1}{3}$，
故二面角A-B₁C-O的余弦值为$\frac{1}{3}$…（7分）
（3）连接OP，在（2）的条件下，易证OC⊥平面B'OA，
∴CP与平面B'OA所成的角为∠CPO，
∴$sin∠CPO=\frac{OC}{CP}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$∴$CP=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$
又在△ACB′中，$sin∠A{B^'}C=\frac{{\frac{3}{{\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{3}{{\sqrt{10}}}=\frac{CP}{{\sqrt{2}}}$，
∴CP⊥AB′，
∴${B^'}P=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}-C{P^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴$AP=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，二面角的平面镜以及直线与平面所成角，考查空间想象能力以及计算能力．