Question

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的3位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，利用对立事件的概率能求出该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率．
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X的可能值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，
则（1-0.5）×P=0.3，故P=0.6…（3分）
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1-0.5）（1-0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为：
1-0.2=0.8…（6分）
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，
X的可能值为0，1，2，3．
当ξ=0时，P(ξ=0)=

C

0 3

×0.83=0.512，
当ξ=1时，P(ξ=1)=

C

1 3

×0.2×0.82=0.384，
当ξ=2时，P(ξ=2)=

C

2 3

0.22×0.8=0.096，
当ξ=3时，P(ξ=3)=

C

3 3

0.23=0.008，…（9分）
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.512	0.384	0.096	0.008

．（10分）
由于ξ～B（3，0.2），所以Eξ=3×0.2=0.6…（12分）

点评：本题考是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．