Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2ax，x≥2\\ 4x-6，x＜2\end{array}$在定义域R上是增函数，则a的取值范围是（　　）

• A． a≥0
• B． a≤0
• C． $a≤\frac{1}{2}$
• D． a≤-1

Answer 1

分析 由题意可知当x＜2时，f（x）=4x-6，在（-∞，2）单调递增，恒成立，当x≥2时，由f（x）=x²-2ax，由二次函数的图象及性质可知：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}≤2}\\{4×2-4a≥4×2-6}\end{array}\right.$，即可求得a的取值范围．

解答 解：由题意可知：当x＜2时，f（x）=4x-6，在（-∞，2）单调递增，恒成立，
当x≥2时，由f（x）=x²-2ax，
由二次函数的图象及性质可知：函数在[2，+∞）单调递增，
则对称轴x=-$\frac{-2a}{2}$≤2，f（2）≥4×2-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}≤2}\\{4×2-4a≥4×2-6}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4a≤2}\end{array}\right.$，解得：a≤$\frac{1}{2}$，
a的取值范围为a≤$\frac{1}{2}$，
故选C．

点评 本题考查二次函数图象及性质，考查分段函数的单调性与二次函数单调性的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．