Question

12．已知点P（1，1）为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1内一定点，过点P的弦AB在点P被平分．求弦AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依题意设，有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．…（2分）．
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，两式相减得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{4}$=0…（2分）
所以直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{4}{9}$．…（2分）
因此直线AB的方程为y-1=-$\frac{4}{9}$（x-1），即4x+9y-13=0．…（1分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力．