Question

7．已知椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以$\sqrt{3}$为公差的等差数列，且该数列的三项之和等于6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AB与椭圆C交于点A，B（A在第一象限），满足2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OF}$，当△0AB面积最大时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由于右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以$\sqrt{3}$为公差的等差数列，可得此三项分别为：a-c，a，a+c，且a=a-c+$\sqrt{3}$，
可得：c，又该数列的三项之和等于6，可得3a=6，b²=a²-c²．解出即可得出．
（2）设直线AB的方程为：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（4+m²）y²-2mty+t²-4=0，△＞0，利用根与系数的关系及其2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OF}$，即2y₁+y₂=0．可得8m²t²=（4-t²）（4+m²）．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$•|t|=$\frac{2|t|\sqrt{4+{m}^{2}-{t}^{2}}}{4+{m}^{2}}$及其基本不等式的性质可得：4+m²=2t²．联立解出即可得出．

解答 解：（1）∵右焦点F到椭圆C的其中三个顶点的距离按一定顺序构成以$\sqrt{3}$为公差的等差数列，
∴此三项分别为：a-c，a，a+c，且a=a-c+$\sqrt{3}$，
可得：c=$\sqrt{3}$，
又该数列的三项之和等于6，
∴3a=6，解得a=2，
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设直线AB的方程为：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（4+m²）y²-2mty+t²-4=0，（*）
△＞0，可得4+m²＞t²．
∴y₁+y₂=$\frac{2mt}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$．
∵满足2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OF}$，
∴2y₁+y₂=0．
∴y₁=$\frac{-2mt}{4+{m}^{2}}$，y₂=$\frac{4mt}{4+{m}^{2}}$．

∴$\frac{-8{m}^{2}{t}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$．
∴8m²t²=（4-t²）（4+m²）．
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{4+{m}^{2}-{t}^{2}}}{4+{m}^{2}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$•|t|=$\frac{2|t|\sqrt{4+{m}^{2}-{t}^{2}}}{4+{m}^{2}}$≤2×$\frac{1}{4+{m}^{2}}$×$\frac{{t}^{2}+（4+{m}^{2}-{t}^{2}）}{2}$=1，当且仅当4+m²=2t²时取等号．
联立8m²t²=（4-t²）（4+m²），4+m²=2t²．
解得：t²=$\frac{20}{9}$，m²=$\frac{4}{9}$．
∴直线AB的方程为：$±\frac{2}{3}$y=x±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、弦长公式、三角形面积计算公式、向量坐标运算、基本不等式的性质、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．