Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，P为右支上一点，点Q满足

F1Q

=λ₁

QP

（λ₁＞0）且|

F1Q

|=2a，双曲线上的点T满足：

F2T

=λ₂

TQ

，

PT

•

F2Q

=0，则|OT|的值为（　　）

• A、4a
• B、2a
• C、a
• D、

  a

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义，结合题意|

F1Q

|=2a证出

|PQ|

=

|PF2|

，即△PQF₂是等腰三角形．由

PT

•

F2Q

=0得

PT

⊥

F2Q

，
所以PT是等腰△PQF₂底边上的中线，从而证出OT是△QF₁F₂的中位线，可得|OT|的值为a．

解答： 解：∵点P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上，
∴根据双曲线的定义，可得

|PF1|

-

|PF2|

=2a，
又∵|

F1Q

|=2a，可得

|PF1|

-

|PQ|

=2a，
∴

|PQ|

=

|PF2|

，即△PQF₂是等腰三角形．
∵

PT

•

F2Q

=0，可得

PT

⊥

F2Q

，
∴PT是等腰△PQF₂底边上的中线，
因此△QF₁F₂中，OT是中位线，可得|OT|=

1

2

|F1Q|=a．
故选：C

点评：本题给出双曲线满足的条件，求线段OT的长．着重考查了双曲线的定义及简单几何性质、向量的数量积运算性质等知识，属于中档题．