Question

13．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；
（Ⅱ）求食堂每天面包需求量的中位数；
（Ⅲ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当60≤x≤90时，利润T=5x+1×（90-x）-3×90，当90＜x≤110时，利润T=5×90-3×90，由此能求出T关于x的函数解析式．
（Ⅱ）设食堂每天面包需求量的中位数为t，利用频率分布直方图能求出食堂每天面包需求量的中位数．
（III）由题意，设利润T不少于100元为事件A，当利润T不少于100元时，求出70≤x≤110，由直方图能求出当70≤x≤110时，利润T不少于100元的概率．

解答 解：（Ⅰ）由题意，当60≤x≤90时，利润T=5x+1×（90-x）-3×90=4x-180，
当90＜x≤110时，利润T=5×90-3×90=180，
∴T关于x的函数解析式T=$\left\{\begin{array}{l}{4x-180，（60≤x≤90）}\\{180，（90＜x≤110）}\end{array}\right.$．…（4分）
（Ⅱ）设食堂每天面包需求量的中位数为t，
则10×0.025+10×0.015+（t-80）×0.020=$\frac{1}{2}$，
解得t=85，
故食堂每天面包需求量的中位数为85个．…（8分）
（III）由题意，设利润T不少于100元为事件A，
由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，
即4x-180≥100，∴x≥70，即70≤x≤110，
由直方图可知，当70≤x≤110时，利润T不少于100元的概率：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-0.025×（70-60）=0.75．…（12分）

点评 本题考查函数解析式、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、中位数、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．