Question

3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为棱A₁A，C₁C的中点，AC⊥BE，点F在棱AB上，且AB=4AF．
（1）求证：BC⊥C₁D；
（2）试在线段BE上确定一点M，使得C₁D∥平面BFM，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）推导出C₁C⊥平面ABC，从而C₁C⊥AC，C₁C⊥BC，推导出AC⊥平面BCC₁B₁，从而AC⊥BC，进而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能证明BC⊥C₁D．
（2）当BE=4ME时，连结AE，FM，则AE∥MF，从而AE∥C₁D，进而MF∥C₁D，由此能证明C₁D∥平面BFM．

解答 证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，
又AC、BC?平面ABC，
∴C₁C⊥AC，C₁C⊥BC，
又AC⊥BE，BE∩C₁C=E，BE、C₁C?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，又BC?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC，而AC∩C₁C=C，AC、C₁C?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D．
解：（2）当BE=4ME时，C₁D∥平面BFM．
证明如下：
连结AE，FM，在△ABE中，由AB=4AF，BE=4ME，
得AE∥MF，又在平面ACC₁A₁中，AE∥C₁D，
∴MF∥C₁D，又C₁D?平面BFM，MF?平面BFM，
∴C₁D∥平面BFM．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的确定与证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．