Question

14．如果圆x²+y²-4x+2y+c=0与y轴交于A，B两点，圆心为P，且∠APB=120°，那么抛物线y²=4cx的焦点坐标为（-11，0）．

Answer 1

分析 先把圆方程整理成标准方程，求得圆心坐标，过圆心作PP′⊥y轴，垂足为P′，则P′坐标可知，根据∠APB=120°推断出∠APP′=60°进而再Rt△APP′中求得PA即圆的半径，进而与圆标准方程中的半径相等求得c．如何求解抛物线的焦点坐标．

解答 解：过圆心作PP′⊥y轴，垂足为P′，
则P′（0，-1），∠APP′=60°，|PP′|=2，
所以圆半径|PA|=4，由圆的标准方程，（x-2）²+（y+1）²=5-c
∴5-c=16，求得c=-11，
抛物线方程为：y²=-44x，抛物线的焦点坐标：（-11，0）．
故答案为：（-11，0）．

点评 本题主要考查抛物线的简单性质，圆的方程的综合运用．考查了学生数形结合的思想的运用和基本的运算能力．