Question

5．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l的方程为$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α为参数），点M是曲线C上的一动点．
（1）求线段OM的中点P的轨迹C'的直角坐标方程；
（2）求曲线C'上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式求得线段OM的中点P的轨迹的参数方程，再把它化为直角坐标方程．
（2）求得直线l的普通方程和曲线C的普通方程，可得曲线C表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，故所求最小值为圆心（0，1）到直线l的距离减去半径，计算求得结果．

解答 解：（1）设中点P的坐标为（x，y），依据中点公式有 $\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
这是点P轨迹的参数方程，消参得点P的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1．
（2）直线l的普通方程为x-y-1=0，曲线C的普通方程为x²+（y-1）²=1，
表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆，
故所求最小值为圆心（0，1）到直线l的距离减去半径，
设所求最小距离为d，则d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1＞0．
因此曲线C上的点到直线l的距离的最小值为$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系，属于中档题．