Question

15．由$y=x+\frac{1}{x}$，x＞0的最小值是2，$y=x+\frac{1}{x^2}$，x＞0的最小值是$\frac{3}{{\root{3}{2^2}}}$，$y=x+\frac{1}{x^3}$，x＞0的最小值是$\frac{4}{{\root{4}{3^3}}}$，可以归纳出$y=x+\frac{1}{x^n}$，x＞0的最小值是$\frac{n+1}{\root{n+1}{{n}^{n}}}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即可得出正确的结论．

解答 解：由$y=x+\frac{1}{x}$，x＞0的最小值是$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
$y=x+\frac{1}{x^2}$，x＞0的最小值是3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{3}{{\root{3}{2^2}}}$，
$y=x+\frac{1}{x^3}$，x＞0的最小值是4$\root{4}{\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{1}{{x}^{3}}}$=$\frac{4}{{\root{4}{3^3}}}$，
可以归纳出$y=x+\frac{1}{x^n}$，x＞0的最小值是
（n+1）$\root{n+1}{\frac{x}{n}•\frac{x}{n}•\frac{x}{n}…\frac{x}{n}•\frac{1}{{x}^{n}}}$=$\frac{n+1}{\root{n+1}{{n}^{n}}}$．
故答案为：$\frac{n+1}{\root{n+1}{{n}^{n}}}$．

点评 本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．