Question

12．设P（x，y）是函数y=f（x）的图象上一点，向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-3）³），$\overrightarrow{b}$=（x-y-1，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=（　　）

• A． 0
• B． 7
• C． 14
• D． 21

Answer 1

分析 利用向量的垂直，求出函数的解析式，通过数列与函数的关系，结合函数的奇偶性，化简求解即可．

解答 解：由题意P（x，y）是函数y=f（x）的图象上一点，
向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-3）³），$\overrightarrow{b}$=（x-y-1，1），
且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．知x-y-1+（x-3）³=0，
y=（x-3）³+x-1，
所以$[（{a}_{1}-3）^{3}+{a}_{1}-1]+[（{a}_{2}-3）^{3}+{a}_{2}-1]+…+[（{{a}_{7}-3）}^{3}+{a}_{7}-1]=14$，
即$[（{a}_{1}-3）^{3}+{a}_{1}-3]+[（{a}_{2}-3）^{3}+{a}_{2}-3]+…+[（{a}_{7}-3）^{3}+{a}_{7}-3]=0$．
而f（x）=x³+x是奇函数，所以a₄-3=0，所以a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故选：D．

点评 本题考查函数与数列相结合，向量与数列的关系，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．