Question

8．已知函数f（x）=x³-ax²+3x+6，若x=3是f（x）的一个极值点，求f（x）在[0，a]上的最值．

Answer 1

分析 先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值，和端点值，求出最值即可．

解答 解：∵f（x）=x³-ax²+3x+6．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由题意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x+6，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=$\frac{1}{3}$或x=3∈[0，5]，
易知f（x）在区间[$\frac{1}{3}$，3]上单调递减，在[0，$\frac{1}{3}$），[3，5]上单调递增，
而f（0）=6，f（3）=-3，
f（5）=21，f（$\frac{1}{3}$）=7-$\frac{14}{27}$，
故f（x）在区间[0，5]上的最大值为21，最小值为-3

点评 本题考查函数与导函数的关系，函数的单调性与导数的关系，通过函数的导数求解函数极值，考查转化思想与计算能力．