Question

如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；

（2）求二面角B－PC－D的余弦值．

 

Answer 1

（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0，)，

所以AE⊥BC，AE⊥BP．

因为BC，BP平面PBC，且BC∩BP＝B，

所以AE⊥平面PBC．                                   

（2）设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0．

因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．

令x＝2，则y＝1，z＝3．

所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一个法向量．           

因为AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量．

根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为－．