Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由得，                                   ……1分

又．                                            ……2分

故椭圆方程为，

椭圆经过点，则．                        ……3分

所以                                                   ……4分

所以椭圆的标准方程为．                                 ……5分

（2）假设存在这样的等腰直角三角形.

明显直线的斜率存在，因为点的坐标为，设直线的方程，则直线的方程为．                                   ……6分

由 得

所以，或

所以点的纵坐标为                                    ……7分

所以．   ……8分

同理                           ……9分

因为是等腰直角三角形，所以，即

                                    ……10分

即

所以，即                         ……11分

所以

即

所以，或                                         ……12分

所以，或．                                          ……13分

所以这样的直角三角形有三个．                                       ……14分