Question

14．已知$\overrightarrow m=（2cosx，y-2\sqrt{3}sinxcosx）$，$\overrightarrow n=（1，cosx）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若$f（\frac{C}{2}）=3$，且$c=2\sqrt{6}$，a+b=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，利用向量的运算建立关系，可得f（x）的解析式，即可求解f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据$f（\frac{C}{2}）=3$，求出角C的大小．$c=2\sqrt{6}$，a+b=6，利用余弦定理求出ab，即可求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow m=（2cosx，y-2\sqrt{3}sinxcosx）$，$\overrightarrow n=（1，cosx）$，
∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$
∴$2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-y=0$，
∴$y=f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx$=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+1$=2sin$（2x+\frac{π}{6}）+1$．$令-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈z$，
则$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈z$，
故f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈z$，k∈Z．
（Ⅱ）∵$f（\frac{C}{2}）=3$，
∴$2sin（C+\frac{π}{6}）+1=3，\;\;\;sin（C+\frac{π}{6}）=1$
∴$C+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈z$
∵$0＜C＜π，\;\;\;\;\;\;\;\;∴C=\frac{π}{3}$
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
可得：（a+b）²-3ab=24，
∵a+b=6，
∴ab=4．
故得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量计算，余弦定理、三角函数的化简及性质的运用．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．