Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，x＜a}\\{{x}^{2}-2x，x≥a}\end{array}\right.$，若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是[-5，4]．

Answer 1

分析 由函数的单调性求得函数y=x+4在（-∞，a）上的值域，然后分a≤1和a＞1求得y=x²-2x（x≥a）的值域，结合函数f（x）的值域为R列关于a的不等式求解．

解答 解：函数y=x+4在（-∞，a）上为增函数，值域为（-∞，a+4）．
若a≤1，y=x²-2x（x≥a）的值域为[-1，+∞），要使函数f（x）的值域为R，则a+4≥-1，得a≥-5，
∴-5≤a≤1；
若a＞1，y=x²-2x（x≥a）的值域为[a²-2a，+∞），要使函数f（x）的值域为R，则a+4≥a²-2a，解得-1≤a≤4，
∴1＜a≤4．
综上，使函数f（x）的值域为R的实数a的取值范围是[-5，4]．
故答案为：[-5，4]．

点评 本题考查分段函数的值域，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．